4.1Definicion de series

4.1Definición de series

El símbolo griego sigma Ʃ  indica que el sumando ^a(k)toma cada uno de los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra K.

El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se deja explícito, n puede tomar cualquier valor entero. K lleva la contabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es n (va desde K = 1 hasta K = n, con n un número entero).

Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias: 

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/complemento/node5.html

Daremos ahora unas propiedades de las series de números reales que se corresponden con propiedades sencillas de las sumas finitas de los números reales. Usando la teoría e las sucesiones, obtenemos estas propiedades e las series partiendo de las propiedades correspondientes e las sumas finitas.

Ejemplo: (The College Mathematics Journal, Vol. 62, # 5, Dec. 89.)
Demuestre la siguiente igualdad entre sumatorias:

4.1.1 Definición de series finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula:

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada  f’, es decir, 

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

http://olveramendozajose.blogspot.mx/2011/06/411-definicion-de-series-finitas.html

Comparacion de una serie El croterio del cociente nunca será ¿¿ ella misma.  La obtención de resultados utiles mediante criterios de comparación requere visión y perseverancia. Debemos elegir afdecuadamente una serie conocía para ahallas que sea justamente la correcta para la comparación con una serie que queremos verificar.

Teorema Criterio el cociente.

Sea Ʃ a_n una serie e términos positivos y supóngase que :

Lim  n->∞  , a_n+1 / a_n= P 

      1)      Si p<1, la serie converge.

      2)      Si p<1, o, Lim  n->∞  , a_n+1 / a_n= ∞ , la serie diverge.

      3)      Si p=1, el criterio no es concluyente.

El criterio del cociente nunca será concluyente para una serie cuyo n-esimo termino sea una expreion racional en n, pues en ese caso p=1 ( los casos a_n = 1/n y a_n= 1/n²  fueron considerados antes). Sin embargo, para una serie cuyo n-esimo termino implica n! o rⁿ, el criterio del cociente trabaja muy bien en general.

La principal pregunta pendiente es está: dada una función f  (por ejemplo, sen x o ln(cos²x)), ¿podemos representarla  mediante una serie d epotencias en x o, mas que general, en x-a? Mas precisamente, ¿podemos hallar números c₀, c₁, c₂,c₃,….tales que:

  F(x)=c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+c₃(x-a)³+…

4.1.2 Series infinitas

En un lenguaje sencillo, una sucesión

a₁,a₂,a₃,a₄…

Es un arreglo ordenado de números reales. Uno para cada entero positivo. Mas formalmente, una sucesion infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto e números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a¹,a²,a³…, mediante {aⁿ}(∞) (n=1), o simplemente por {aⁿ}. En algunos casos, extenderemos un poco este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero especifico, como en  b₀, b₁, b₂,… y c₈, c₉, c₁₀,…, que denotamos como {bⁿ} (∞) (n=0) y {cⁿ} (∞) (n=8),  respectivamente.

Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iníciales para establecer un patrón, como en:

1,4,7,10,13,…

Mediante una formula explicita para el n.esimo termino, como en

a_n=3n-2,  n>=1

o mediante una  formula recursiva

a₁ = 1, a_n=a_n-1 +3,  n>=2.

Observe que cada uno de estos ejemplos describe la misma sucesión. He aquí otras cuatro fórmulas  explícitas y los primeros términos de las sucesiones que generan.

        ( 1)    a_n = 1-(1/n),                  n>=1: 0, (1/2), (2/3), (3/4), (4/5),…

        ( 2)    b_n = 1+(-1)ⁿ(1/n) ,        n>=1: 0, (3/2), (2/3), (5/4), (4/5),(7/6),(6/7),…

        ( 3)    c_n =(-1)ⁿ+(1/n),             n>=1: 0, (3/2), (/),(2/3), (5/4),(/),(4/5),…

        (4)    d_n =0.999,                      n>=1: 0.999, 0.999, 0.999, 0.999

4.2 Serie numérica y convergencia prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Cauchy)

4.2 Serie numérica y convergencia prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Cauchy)

Convergencia: considere las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesión converja a 1 , primero debe ocurrir que los valores e la sucesión se acerquen a 1. Pero eben de hacer algo mas que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n mas allá e cierto valor. Esto descarta la sucesión {c_n}. Ademas cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no nuladaa con respecto a 1, lo cual incluye a {d_n}. Aunque la sucesión {d_n} no comverge; decimos que diverge.

  Definicion: La sucesion {a_n} se ice que converge a L y escribimos:

Lim  n->∞  , a_n=L

Si para cada numero positivo ɛ existe un numero positivo correspondiente a N tal que

n>= N  -> |a_n-L|< ɛ

Si no hay un numero finito L al que converja una sucesion, se ice que este diverge, o que es divergente.

**Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón)

Sea una serie Ʃ_k=1(a_k), tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

Con {L €[0,+ ∞)} , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.
• si L > 1, entonces la serie diverge.
• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

**Criterio de Cauchy (Raíz Enécima)

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.
• L > 1 entonces la serie es divergente.
• L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

4.3 Series de potencias

4.3 Series de potencias

Series De Potencia Series de potencias Convergencia de las series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x “ (−1,1) (con suma 11−x , como sabemos). 189

http://www.mitecnologico.com/Main/SeriesDePotencia

Una serie de potencias es una serie de la forma:

donde x es una variable y las C_n son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x  establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x  y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Series_de_potencias

4.4 Radio de convergencia.

4.4 Radio de convergencia.

Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro. Por ejemplo, considere la circunferencia de radio r (r=3) con centro en (-1, 2).Sea (x, y) un punto cualquiera de esta circunferencia. Por medio de la fórmula de la distancia,

√(x+1)² + (y-2)²=3

 Cuando elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos;

(x+1)² + (y-2)²=9

Que llamamos la ecuación de esta circunferencia.

 En forma mas general, la circunferencia de radio (r) con centro en ( h, k)tiene la ecuación

(     (x-h)² + (y-k)²=r²

para una explicación mas detallada  puedes visitar el siguiente blogger.

http://jonathanfragoso.blogspot.mx/2011/05/44-radio-de-convergencia.html

4.5 SERIE DE TAYLOR

4.5 SERIE DE TAYLOR

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. 

Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.

A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. 

La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático.

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

Teorema de Taylor. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:   

 Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.

Funcion e 

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie 

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se irá llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya está

http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/05/46-representacion-de-funciones-mediante.html

4.7. Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

4.7. Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si "n" ≥ 0 es un entero y "F" una función que es derivable "n" veces en el intervalo cerrado [a, b] y (n+1) veces en el intervalo abierto (a, b), entonces se cumple que

o en forma compacta

Donde K! denota el factorial de K, y R_n(f) es el resto, término que depende de X  y es pequeño si  X  está próximo al punto A. Existen dos expresiones para K  que se mencionaran a continuación:

donde A y X, pertenecen a los números reales, N a los enteros y E es un número real entre A y X:

Si  R_n(f) es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, R_n(f) , se aproxima a cero cuando “n”  se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto “a” y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con R_n(f)  expresado de la segunda forma es también válido si la función “ f ”  tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.





http://www.foroswebgratis.com/tema-calculo_de_integrales_de_funciones_expresadas_como_serie_de_taylor-178891-2834559.htm