4.2 Serie numérica y convergencia prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Cauchy)

4.2 Serie numérica y convergencia prueba de la razón (Criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (Criterio de Cauchy)

Convergencia: considere las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesión converja a 1 , primero debe ocurrir que los valores e la sucesión se acerquen a 1. Pero eben de hacer algo mas que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n mas allá e cierto valor. Esto descarta la sucesión {c_n}. Ademas cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no nuladaa con respecto a 1, lo cual incluye a {d_n}. Aunque la sucesión {d_n} no comverge; decimos que diverge.

  Definicion: La sucesion {a_n} se ice que converge a L y escribimos:

Lim  n->∞  , a_n=L

Si para cada numero positivo ɛ existe un numero positivo correspondiente a N tal que

n>= N  -> |a_n-L|< ɛ

Si no hay un numero finito L al que converja una sucesion, se ice que este diverge, o que es divergente.

**Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón)

Sea una serie Ʃ_k=1(a_k), tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

Con {L €[0,+ ∞)} , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.
• si L > 1, entonces la serie diverge.
• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

**Criterio de Cauchy (Raíz Enécima)

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.
• L > 1 entonces la serie es divergente.
• L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.