4.5 SERIE DE TAYLOR
La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los
coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular
y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo
grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas.
Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las
operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división
es necesaria.
Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen
derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un
polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y
superiores de un polinomio de grado n son nulas.
Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma
y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la
división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente,
las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente
las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el
bachillerato.
A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones
tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades
más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas?
¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para
obtener log(x) o sen(x)?.
La respuesta a estas preguntas la proporcionan los
métodos desarrollados por el análisis matemático.
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