Series De Potencia Series de potencias Convergencia de las
series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda
serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente
n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie
es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele
escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de
polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como
suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura
la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único
punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante
satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0
xn converge (absolutamente) si y solo si x “ (−1,1) (con suma 11−x , como
sabemos). 189
Una serie de potencias es una serie de la forma:
donde x es una variable y las Cn son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar
para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser
convergente para algunos valores de x y ser divergente para
otros. La suma de la serie es una función.
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