4.1Definición de series
El símbolo griego sigma Ʃ indica que el sumando a(k)toma cada uno de
los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a
través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el
número de enteros que recorra K.
El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se
deja explícito, n puede tomar cualquier valor entero. K lleva la contabilidad de los términos incluidos
en la suma y el valor más alto que toma es n (va desde K = 1 hasta K = n, con n un número entero).
Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias:
Daremos ahora unas propiedades de las series de números
reales que se corresponden con propiedades sencillas de las sumas finitas de
los números reales. Usando la teoría e las sucesiones, obtenemos estas
propiedades e las series partiendo de las propiedades correspondientes e las
sumas finitas.
Ejemplo: (The College
Mathematics Journal, Vol. 62, # 5, Dec. 89.)
Demuestre la siguiente igualdad entre sumatorias:
Demuestre la siguiente igualdad entre sumatorias:
4.1.1
Definición de series finitas
Una diferencia
finita es una expresión matemática de la forma f(x + b)
− f(x +a). Si una diferencia finita se divide
por b − a se obtiene una expresión similar
al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades
finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por
diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias
finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones
diferenciales.
La diferencia
anterior puede considerarse un operador diferencial que hace
corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede
expresarse por la fórmula:
Donde D denota
el operador derivada, que hace corresponder f con su
derivada f’, es decir,
Formalmente,
invirtiendo la exponencial,
Comparacion
de una serie El croterio del cociente nunca será ¿¿ ella misma. La obtención de resultados utiles mediante
criterios de comparación requere visión y perseverancia. Debemos elegir
afdecuadamente una serie conocía para ahallas que sea justamente la correcta
para la comparación con una serie que queremos verificar.
Teorema
Criterio el cociente.
Sea Ʃ an una serie e
términos positivos y supóngase que :
Lim
n->∞
, an+1 / an= P
1)
Si p<1, la serie converge.
2)
Si p<1, o, Lim n->∞
, an+1 / an= ∞ , la serie diverge.
3)
Si p=1, el criterio no es concluyente.
El criterio del cociente nunca será
concluyente para una serie cuyo n-esimo termino sea una expreion racional en n,
pues en ese caso p=1 ( los casos an = 1/n y an= 1/n2
fueron considerados antes). Sin
embargo, para una serie cuyo n-esimo termino implica n! o rn, el
criterio del cociente trabaja muy bien en general.
La principal pregunta pendiente es
está: dada una función f
(por ejemplo, sen x o ln(cos2x)), ¿podemos
representarla mediante una serie d
epotencias en x o, mas que general, en x-a? Mas precisamente, ¿podemos hallar
números c0, c1, c2,c3,….tales que:
F(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+…
4.1.2 Series infinitas
En un lenguaje sencillo, una sucesión
a1,a2,a3,a4…
Es un arreglo ordenado de números reales. Uno para cada entero
positivo. Mas formalmente, una sucesion
infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y
cuyo rango es un conjunto e números reales. Podemos indicar una sucesión
mediante a1,a2,a3…, mediante {an}(∞)
(n=1), o simplemente por {an}. En algunos casos, extenderemos un
poco este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros
mayores o iguales a un entero especifico, como en b0, b1, b2,…
y c8, c9, c10,…, que denotamos como {bn}
(∞) (n=0) y {cn} (∞) (n=8),
respectivamente.
Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos
iníciales para establecer un patrón, como en:
1,4,7,10,13,…
Mediante una formula
explicita para el n.esimo termino, como en
an=3n-2, n>=1
o mediante una formula recursiva
a1 = 1, an=an-1 +3, n>=2.
Observe que cada uno de estos ejemplos describe la misma sucesión.
He aquí otras cuatro fórmulas explícitas
y los primeros términos de las sucesiones que generan.
( 1)
an
= 1-(1/n),
n>=1: 0, (1/2), (2/3), (3/4), (4/5),…
( 2)
bn
= 1+(-1)n(1/n) ,
n>=1: 0, (3/2), (2/3), (5/4), (4/5),(7/6),(6/7),…
( 3)
cn
=(-1)n+(1/n),
n>=1: 0, (3/2), (/),(2/3), (5/4),(/),(4/5),…
(4)
dn
=0.999, n>=1:
0.999, 0.999, 0.999, 0.999
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